P라는 점이 있을 때 <global 좌표계>의 기준으로 P는 (11, 9)에 위치한다. global 좌표계의 x, y축 단위벡터는 각각 $\hat{i}$, $\hat{j}$이다.
<local 좌표계>에서 P를 본다면 P의 위치는 (2, 4)이다. local 좌표계의 u,v축 단위 벡터를 각각 $\hat{u}$, $\hat{v}$라고 할 때, $\hat{i} = \hat{u}, \hat{j} = \hat{v}$ 이다.
$$ \vec{OP} = \vec{OO'} + \vec{O'P} ~\to~{{11}\brack{9}} = {{9}\brack{5}} + {{2}\brack{4}} $$
global에서 본 P의 좌표는 $\vec{OP}$ 이고, $^GP$ 라고 앞으로 표현 할 것이다. local에서 본 P는 $\vec{O'P}$ 이고, $^LP$ 라고 쓸 것이다.
2차원 좌표계에서 2*2 matrix는 어떠한 좌표계를 다른 좌표계로 선형 변환(lineat transformation) 시켜주는 도구로 사용된다.
$$ outputVector = MATRIX *inputVector $$
다음과 같이 어떠한 벡터를 특정 행렬에 곱해주면 그에 따른 벡터가 반환된다. 예를 들어 $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$ 라는 행렬이 존재하면 이 행렬은 $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ 라는 벡터를 $\begin{bmatrix} x+3y \\ -2x \end{bmatrix}$ 라는 다른 벡터로 변환 시킨다.
기존 좌표계를 global, 변환 된 좌표계를 local 이라고 하면, global의 unit vector인 $\hat{i}$, $\hat{j}$ 가 각각 $\hat{u} = \hat{i}-2\hat{j}$, $\hat{v} = 3\hat{i}$ 로 변환되었고 $P=\begin{bmatrix}1\\1 \end{bmatrix}$ 또한 $P' = \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \end{bmatrix}$ 로 변환되었다. 위 행렬의 determinant는 6이고, 이 값은 $\hat{u}$ 와 $\hat{v}$ 가 이루는 평행 사변형의 넓이와 같다.
좌표계 A에서 B로 선형 변환 시키는 행렬을 $^{A}_{B}L = \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}$ 라고 가정하면 좌표계 B의 unit vector는
$$ \hat{B_x} = a\hat{A_x} + c\hat{A_y},~~ \hat{B_y} = b\hat{A_x} + d\hat{A_y} $$
가 되며 그 역도 성립한다.
단위 벡터 (1, 0)과 (0, 1)이 각각 (a, c), (b, d)로 이동한다면 이 때 변환 행렬은 $^{A}_{B}L = \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}$ 라는 의미이다.
$^{B}{A}L$ 에 의해서 선형 변환이 발생할 때, $^{B}{A}L$ 은 A의 단위 벡터를 늘리고 회전시켜서 새로운 좌표계인 B를 만들어 내고, B의 기준에서 본 $P’ = {^B}P'$ 는 (1, 1) = ($1 \hat{u} + 1\hat{v}$) 이지만, A의 기준에서 본 ${^A}P'$ 는 (4, -2) = ($4 \hat{i} -2\hat{j}$) 이다. 즉 ${^A}P' = {^A_B}L {^B}P'$ 이고, ${^A_B}L{^{-1}}{^A}P' = {^B}P'$ 이므로, ${^A_B}L^{-1} = {^B_A}L$ 임도 확인할 수 있다.
${^A_B}L$ 중에서 determinant가 1이고, 고유 벡터가 존재하지 않는 행렬은 A좌표계에서 B좌표계로의 변환에서 A의 점들을 회전시키기만 하고, 원점으로부터의 거리는 일정하게 변환시킨다. 이러한 행렬을 회전행렬이라 하며, ${^A_B}R = \begin{bmatrix} cos{\theta}&-sin{\theta} \\ sin{\theta}&cos{\theta} \end{bmatrix}$ 로 표현된다. 회전 행렬은 직교행렬이며, $R^{-1} = R^T$ 인 성질이 있다.
